Es ergibt sich, dass nicht-diatonische Modalitäten in vielen Fällen mehrere Tritonien besitzen – oder vielleicht auch einen übermäßigen Dreiklang – , die zusammen innerhalb einer gegebenen Modalität vorkommen. Ein Beispiel wäre die Formel I-bII-III-#IV-V-VI-bVII. Diese Modalität hat insgesamt drei Tritonien in ihren einzelnen Bestandteilen. Der erste ist I-#IV, der nächste ist zwischen der bII und der V und zuletzt der Tritonus zwischen bVII und III.

Eine Anwendung könnte die Begrenzung der Transponier-Möglichkeiten sein, erreichbar durch die Nicht-Wiederholung eines vorhandenen Tritonus. Ein Beispiel für diese besondere Technik :

C-Db-E-F#-G-A-Bb <> Ab-A-.C-D-Eb-F-Gb <> Eb-E-G-A-Bb-C-Db <> G-Ab-B-C#-D-E-F- <> Db-D-F-G-Ab-Bb-Cb <> A-Bb-C#-D#-E-F#-G <> D-Eb-F#-G#-A-B-C.

Ab hier werden wir die Transponierungen umkehren, was uns eine weitere Reihe Modalitäten ohne Wiederholungen erbringt. Ausgangspunkt soll dieses Mal das F# sein :

F#-G-A#-B#-C#-D#-E <> Bb-Cb-D-E-F-G-Ab <> Eb-E-G-A-Bb-C-Db <> B-C-D#-E#-F#-G#-A <> F-Gb-A-B-C-D-Eb <> A-Bb-C#-D#-E-F#-G <> E-F-G#-A#-B-C#-D <>.

Nun wollen wir alle drei ungleichen symmetrischen Modalitäten von der Originalen herleiten. Alle drei sollen mit C beginnen. Die „Modalität 1“ bleibt C-Db-E-F#-G-A-Bb. „Modalität 2“ beginnt auf Db, jedoch vom Ton C ab erscheint sie so : C-D#-E#-F#-G#-A-B. „Modalität 3“ beginnt auf Bb und zeigt sich vom C ab als : C-D-Eb-F#-G#-A-B.

Dann verwenden wir alle drei Variationen als Ausgangspunkt verwenden. Jede Modalität ist natürlich konstruiert aus dem Tritonus als Kern und unterschiedliche Tönen. Dies gibt uns die Möglichkeit verschiedener Transponierungsschemata, ohne jedes Mal „nur“ die Original-Modalität zu verwenden. Eine Darlegung dieser Technik zeigt, dass jede Modalität in der Sammlung dazu benutzt werden kann, ein alternatives logisches Schema zu erstellen obwohl einige vielleicht dieselbe Intervallkonstruktion besitzen. Dies ist auch die Kernbedeutung der Regel, dass nur die geordneten Tritonien diese Art Struktur hervorbringen.

Nun präsentiere ich ein Schema mit allen drei Variationen einer Modalität. Wir werden sehen, dass das Transponierschema stabil ist und dass „Modalität 1“ in jeder weiteren noch mal erscheint, jedoch wird „Modalität 1“ insgesamt in keiner Weise eine logische Abfolge von Transponierungen formen. Nur durch die Verwendung von „Modalität 2“ und „Modalität 3“wird die Logik erkennbar. Hier ein Beispiel :

C-Db-E-F#-G-A-Bb (Modalität 1) <> E-F#-G-A#-B#-C#-D# (Modalität 3) <> D-F-G-G#-A#-B-C# (Modalität 2) <> Bb-Cb-D-E-F-G-Ab (Modalität 1) <> Ab-B-C#-D-E-F-G (Modalität 2) <> Db-Eb-Fb-G-A-Bb-C (Modalität 3).

Dies ist der erste Teil des Schemas, jetzt kehre ich die Transponierungen von F# um. Noch einmal wird „Modalität 1“ nicht die bindende Kraft sein.

F#-G-A#-B#-C#-D#-E (Modalität 1) <> D-E-F-G#-A#-B-C# (Modalität 3) <> E-G-A-A#-B#-C#-D# (Modalität 2) <> Ab-A-C-D-Eb-F-Gb (Modalität 1) <> Bb-C#-D#-E-F#-G-A (Modalität 2) <> F-G-Ab-B-C#-D-E (Modalität 3).
Dies demonstriert die Gültigkeit der Erzeugung aller Skalen in der gesamten Sammlung, da jedes modale Konstrukt individuell in einer schematischen Planung benutzt werden kann.

DREI METHODEN MODALER ERWEITERUNG

1. DIE ÜBERLAGERUNG SYMMETRISCHER FIGUREN

Nun werde ich illustrieren, wie man symmetrische Figuren verwendet, die über eine bestehende Symmetrie übergelagert werden können. Sagen wir zum Beispiel, wir haben da eine pentatonische Modalität, verteilt um den Tritonus D-G#. Die Modalität hat die Formel I-II-#IV-#V-VI.

Durch das Überlagern einer symmetrischen Figur über D und dann G# haben wir die Möglichkeit, die Modalität mit verwandten Tönen zu erweitern. Diese Töne können frei gewählt werden, müssen jedoch die etablierte Symmetrie benutzen und symmetrisch aufgebaut sein. Als Beispiel können nur so wenig wie zwei Töne pro Teil der Symmetrie gewählt werden, oder so viele wie man will, bis zu einer endlosen Reihe von Tönen. Nicolas Slonimsky hatte eine komplette Sammlung solcher Figuren aufgeschrieben.

Die Modalität in geschriebenen Tönen lautet : D-E-G#-A#-B. Eine übergelagerte symmetrische Figur könnte so einfach sein wie : D-Eb-G#-A. Dies ist eine simple und direkte Überlagerung. Man kann genauso die Figur nehmen und die Intervallbeziehungen zum G# umkehren, was uns eine Variante beschert : D-Eb-G#-G. Beide diese Figuren sind überlagerte symmetrische Erweiterungen.

Eine andere Variante wäre es, einen übermäßigen Dreiklang einzusetzen, aufgrund seiner symmetrischen Verwandtschaft mit dem Tritonus, und eine kunstvolle Figur zu schaffen, basierend auf gestaffelten Durterzen. Ein ausgeschriebenes Beispiel wäre D-F-E-Ab-Db-C. Jetzt transponiert und kehrt man die Figur auf der nächsten Durterz um : F#-D#-E-C-G-Ab. Dann transponiert man noch einmal in der Originalform eine Durterz höher : Bb-Db-C-E-A-Ab. Damit ist der Kreislauf geschlossen. Diese Methode kann horizontal und vertikal benutzt werden.

2. CANTUS SYMMETRICUS UND DIE ZWÖLF–TON-REIHE

Wie man durch mein drittes aufgelistetes Beispiel ablesen kann, erhält man eine Reihe von Modalitäten, die linear durch ihre symmetrische Verwandtschaft verbunden sind. Diese Modalitäten bilden eine strukturierte Matrix, auf die man völlig frei eine überlagerte Zwölf-Ton-Technik schreiben kann.

Äußerst interessant wird es, hat man auf der einen Seite die perfekte Gleich-Gültigkeit der Töne, wie es in der Zwölf-Ton-Technik praktiziert wird, und auf der anderen Seite zum Beispiel einen Bass, der die durch die grundlegenden Prinzipien kontrollierter Transponierung verketteten Modalitäten benutzt, so wie es zu Beginn meiner Theorie dargelegt wurde.

Die Zwölf-Ton-Technik kann natürlich nach Wunsch transponiert und aus den Noten vorgegebener Motive eines vorgegebenen Stückes bestehen. So kann man sich einer motivischen und harmonischen Einheitlichkeit sicher sein. Genauso kann man aus der modalen Struktur Harmonien bilden und die bestehenden Zwölf-Ton-Reihen überlagern.

3. POLYMODALE ERWEITERUNG (wie im modernen Jazz praktiziert)

Viele Male fragte ich mich selbst verwundert, woher McCoy Tyner`s Musik der Siebziger ihre Klänge bezog. Ein sehr deutliches Beispiel wäre der Blick auf die Untertonierung von Quarten, wobei die übliche Bluesskala in, sagen wir, C-Moll steht.
Ein Beispiel sieht folgendermaßen aus : C mit einer Quarte darunter, G und dann D. Wenn wir eine Bluesmelodie annehmen aus C-Eb-F-Gb-F, dann wird die Kombination Dreiklänge ergeben, in Quarten aufgebaut, während drei Modalitäten zugleich erklingen : D-G-C; F-Bb-Eb; G-C-F; Ab-Db-Gb; G-C-F.

Man kann genau so Vierklänge mit dieser Technik erstellen : Db-E-A-C;
E-G-C-Eb; Gb-A-D-F; G-Bb-Eb-Gb; Gb-A-D-F. Diese polymodale Technik gründet sich auf vorgegebene Dreiklänge, die auch in komplexen Strukturen auftauchen können. Ein Beispiel wäre ein C7-b9-#11-6 Akkord. Die drei Töne an der Spitze des Akkordes bilden einen F#-Moll Akkord. Man kann genau dieselbe Technik mit polymodaler Erweiterung über F#-Moll verwenden, und so auch genauso über den C7-b9-#11-6 Akkord.

Ein sehr einfaches Beispiel ist der Cmaj7 Akkord. Er hat ebenso, zusammen mit der Terz, der Quinte und der Septime, den E-Moll Dreiklang in seiner Grundstruktur. Oft improvisiert ein Jazzmusiker E-Moll Blues über einen Cmaj7 Akkord.

EINE NEUE DODEKAPHONIE DURCH DEN GEBRAUCH VON POLYMODALITÄT

Eines der Grundprinzipien der Zwölf-Ton-Technik ist der Gebrauch aller zwölf chromatischen Töne vor der Wiederholung des ersten. Deshalb konstruiert man Zwölf-Ton-Reihen für die Ausführung dieses Konzeptes. Daraus erhalten wir die vollkommene Gleich-wertigkeit aller Töne, was in eine atonale Umgebung führt.

Eines Tages entschied ich mich, eine Reihe polymodaler Strukturen zu schaffen, was den Gebrauch aller zwölf Halbtonschritte zum Ergebnis hatte. Aufgrund meiner symmetrischen Denkart, wie zu Beginn meiner Theorie dargelegt, kann man den Aufbau einer Zwölf-Ton-Umgebung neu überdenken.

Ein anschauliches Beispiel ist es, eine heptatonische Modalität auszuwählen und eine „Geschwister-Modalität“ auf die andere symmetrische Achse zu überlagern. Diese Modalität wäre genauso eine heptatonische und – im Fall des Tritonus – wäre sie auf der übermäßigen Quarte der Original-Modalität aufgebaut. Auch sollte die „Geschwister-Modalität“ die fünf Töne besitzen, die in der Original-Modalität nicht zu finden sind. Ausgeschrieben lautet dies so : C-Db-E-F#-G-A-Bb ist die Original-Modalität. Dazu die polymodale „Geschwister-Modalität“: F#-G#-B-B#-D-D#-E#.

Wenn ich diese Technik anwende, lasse ich absichtlich F# und B# aus der „Geschwister-Modalität“ weg, denn dieser Tritonus ist schon in der Original-Modalität enthalten. Das Ergebnis ist eine Zwölf-Ton-Struktur. Dann verteile ich die Modalitäten in verschiedene Register. Dann passiert etwas Zweideutiges mit der Musik.

Mit einem Transponierschema kann man jegliche modale Transponierung durch die Einordnung eines vorgegebenen Tritonus, wie in der Eröffnung meiner Theorie vorgeschlagen, gliedern, und zur gleichen Zeit die Prinzipien der Dodekaphonie ausüben. Wenn die Original-Modalität als Klangzentrum steht und die „Geschwister-Modalität“ als Melodiequelle benutzt wird, kann man eine deutliche harmonische Bewegung durch die strukturierten Symmetrien hören. In einer kontrapunktischen Annäherung ist das gleiche Ergebnis möglich, solange die zwei modalen Strukturen ihre Identität bewahren.

SAMMLUNG SYMMETRISCHER ZWÖLF-TON-REIHEN

Zusätzlich zu dieser „neuen Dodekaphonie“, also die Anwendung polymodaler Konstrukte zweier Modalitäten, aufgebaut auf den Tritonus, kann man auch symmetrische Zwölf-Ton-Reihen erstellen, die ebenso auf die Original-Modalität überlagert werden können. Man muss symmetrische Zwölf-Ton-Reihen nicht verwenden, aber diese Reihen ergeben auch den Effekt einer reinen musikalischen Einheitlichkeit; deshalb bekommen sie eine spezielle Einordnung neben einer „nur“ frei konstruierten Zwölf-Ton-Reihe.

Auch bietet sich die Möglichkeit an, zwei hexatonische Modalitäten nebeneinander zu stellen, die theoretisch auch eine Zwölf-Ton-Reihe ergeben, und dann überlagert man diese speziellen Sequenzen. Diese besonderen Zwölf-Ton-Strukturen sind unten in einer Sammlung aufgeführt werden. Wieder einmal kann man ungleiche symmetrische Modalitäten auswählen, die genauso diese Tonanordnungen besitzen. So kann man also sowohl mit Motiven der Modalitäten, als auch der symmetrischen Zwölf-Ton-Reihen arbeiten und eine homogene Umgebung erschaffen.

SYMMETRISCHE ZWÖLF-TON-REIHEN

BASIEREND AUF DEM TRITONUS

I-bII-bVI-bIII-III-IV-#IV-V-II-VI-bVII-VII
I-bII-II-VI-III-IV-#IV-V-bVI-bIII-bVII-VII
I-bII-II-bIII-bVII-IV-#IV-V-bVI-VI-III-VII
I-bII-II-bIII-III-VII-#IV-V-bVI-VI-bVII-IV
I-V-II-bIII-III-IV-#IV-bII-bVI-VI-bVII-VII
I-V-bVI-bIII-III-IV-#IV-bII-II-VI-bVII-VII
I-bII-bVI-VI-III-IV-#IV-V-II-bIII-bVII-VII
I-bII-II-VI-bVII-IV-#IV-V-bVI-bIII-III-VII
I-bII-II-bIII-bVII-VII-#IV-V-bVI-VI-III-IV
I-V-II-VI-III-IV-#IV-bII-bVI-bIII-bVII-VII
I-V-II-bIII-bVII-IV-#IV-bII-bVI-VI-III-VII
I-V-II-bIII-III-VII-#IV-bII-bVI-VI-bVII-IV
I-bII-bVI-bIII-bVII-IV-#IV-V-II-VI-III-VII
I-bII-bVI-bIII-III-IV-#IV-V-II-VI-bVII-VII
I-bII-II-VI-bVII-IV-#IV-V-bVI-bIII-III-VII
I-bII-II-VI-bVII-IV-#IV-V-bVI-bIII-III-VII
I-bII-II-bIII-bVII-VII-#IV-V-bVI-VI-III-IV
I-V-bVI-VI-III-IV-#IV-bII-II-bIII-bVII-VII
I-V-II-VI-bVII-IV-#IV-bII-bVI-bIII-III-VII
I-V-II-bIII-bVII-VII-#IV-bII-bVI-VI-III-IV
I-V-bVI-bIII-bVII-IV-#IV-bII-II-VI-III-VII
I-V-bVI-bIII-III-VII-#IV-bII-II-VI-bVII-IV
I-V-II-VI-III-VII-#IV-bII-bVI-bIII-bVII-IV
I-bII-bVI-VI-bVII-IV-#IV-V-II-bIII-III-VII
I-bII-bVI-VI-III-VII-#IV-V-II-bIII-bVII-IV
I-bII-bVI-bIII-bVII-VII-#IV-V-II-VI-III-IV
I-bII-II-VI-bVII-VII-#IV-V-bVI-bIII-III-IV
I-V-bVI-VI-bVII-IV-#IV-bII-II-bIII-III-VII
I-V-II-VI-bVII-VII-#IV-bII-bVI-bIII-III-IV
I-bII-bVI-VI-bVII-VII-#IV-V-II-bIII-III-IV

BASIEREND AUF DEM ÜBERMÄSSIGEN DREIKLANG

I-IV-II-bIII-III-VI-#IV-V-#V-bII-bVII-VII
I-bII-#IV-bIII-III-IV-bVII-V-#V-VI-II-VII
I-bII-II-V-III-IV-#IV-VII-#V-VI-bVII-bIII
I-VI-II-bIII-III-bII-#IV-V-#V-IV-bVII-VII
I-bII-bVII-bIII-III-IV-II-V-#V-VI-#IV-VII
I-bII-II-VII-III-IV-#IV-bIII-#V-VI-bVII-V
I-IV-#IV-bIII-III-VI-bVII-V-#V-bII-II-VII
I-IV-II-V-III-VI-#IV-VII-#V-bII-bVII-bIII
I-IV-bVII-bIII-III-VI-II-V-#V-bII-#IV-VII
I-IV-II-VII-III-VI-#IV-bIII-#V-bII-bVII-V
I-VI-#IV-bIII-III-bII-bVII-V-#V-IV-II-VII
I-VI-II-V-III-bII-#IV-VII-#V-IV-bVII-bIII
I-VI-bVII-bIII-III-bII-II-V-#V-IV-#IV-VII
I-VI-II-VII-III-bII-#IV-bIII-#V-IV-bVII-V
I-bII-#IV-V-III-IV-bVII-VII-#V-VI-II-bIII
I-bII-bVII-VII-III-IV-II-bIII-#V-VI-#IV-V
I-bII-#IV-VII-III-IV-bVII-bIII-#V-VI-II-V
I-bII-bVII-V-III-IV-II-VII-#V-VI-#IV-bIII
I-IV-#IV-V-III-VI-bVII-VII-#V-bII-II-bIII
I-VI-#IV-V-III-bII-bVII-VII-#V-IV-II-bIII
I-IV-bVII-VII-III-VI-II-bIII-#V-bII-#IV-V
I-VI-bVII-VII-III-bII-II-bIII-#V-IV-#IV-V
I-IV-#IV-VII-III-VI-bVII-bIII-#V-bII-II-V
I-IV-bVII-V-III-VI-II-VII-#V-bII-#IV-bIII
I-VI-#IV-VII-III-bII-bVII-bIII-#V-IV-II-V
I-VI-bVII-V-III-bII-II-VII-#V-IV-#IV-bIII

DER GEBRAUCH „MUSIKALISCHER EINHEITEN“

Zuerst möchte ich den Begriff der „musikalischen Einheit“ erklären. Eine musikalische Einheit ist die von mir gewählte Bezeichnung der perfekten Umkehrung eines beliebigen Tones. Sie ist in sich selbst abhängig von diesem vorgegebenen Ton, und die von dieser Technik abgeleiteten Strukturen zirkulieren darum herum. Ein Beispiel dafür kann so einfach sein wie ein beliebig gewähltes Intervall, das zum Ausgangston umgekehrt wird. Dies sieht so aus : C-D, gefolgt von C-Bb. Man kann diese Technik nach Belieben ausweiten. Ein Beispiel für einen Dreiklang wäre C-Eb-B, gefolgt von C-A-Db. Ein Beispiel für einen Vierklang : C-F-Ab-B, nachfolgend C-G-E-Db.

Ab hier kann man auch mehr verwandte Töne generieren durch Betrachtung jedes einzelnen Tones einer vorgegebenen Struktur und der Umkehrung derselbigen, ausgehend von jedem einzelnen beteiligten Ton. Zum Beispiel nehme man den zuvor gewählten Vierklang und kehren diese Struktur vom F, vom Ab und vom B um. Dies ergibt drei weitere verwandte vierklängige Strukturen. F-Ab-B-C ergeben F-D-B-Bb. Ab-B-C-F ergeben Ab-F-E-B. B-C-F-Ab ergeben B-Bb-F-D. Wie in allen beschriebenen Techniken kann man dies entweder linear oder harmonisch anwenden.

Diese Form der Hybrid-Generierung ist in der Tat eine Technik der unendlichen Variationen, die eine ewige Reihe verwandter Töne erzeugen kann. Man muss lediglich mit jeder neu erzeugten Struktur fortfahren, weitere Kombinationen durch Umkehrungen auf ihren verschiedenen Teiltönen abzuleiten. Diese Form der Ton-Ableitung durch Umkehrung ist dadurch hörbar, dass unsere Wahrnehmung automatisch symmetrische Formen erkennt.

Diese Art der Klanggestaltung kann auch für die Überlagerung über die vorhandenen Modalitäten benutzt werden, die in meiner Sammlung zu finden sind. Gemäß dieser Denkart ist es auch möglich, die symmetrisch konstruierten Strukturen wie die Abfolgen auf den Tritonus oder den übermäßigen Dreiklang in eben dieser Weise zu nutzen. Wegen ihrer geometrischen Symmetrie können sie mit musikalischen Einheiten zusammen existieren.

Man kann die Schematisierungen musikalischer Einheiten wirklich unabhängig weiterentwickeln. Denkbar sind Transponierschemata, vielleicht verwandt zum Schema der originalen modalen Transponierung, die frei überlagert werden können. Der Effekt ist, wie zu erwarten war. Wegen der inneren Einheit solcher Strukturen erklingen sie unabhängig von den gewählten transponierbaren Modalitäten und stören deren Strukturieren nicht. Ebenso kann man die Symmetrie einer vorgegebenen Modalität als unsere Ausgangsbasis für die Überlagerung verwenden, wie schon zuvor in „DREI METHODEN MODALER ERWEITERUNG“ erwähnt.

SAMMLUNG SYMMETRISCHER EINHEITEN IN SKALENFORM

Durch den Gebrauch von symmetrischen Einheiten in Skalenform können wir uns von der rein generativen Denkart befreien. Wir können diese Skalen in gewohnter Weise überlagern, ganz ohne die Erzeugung von Umkehrungen. Natürlich muss die Exposition der gesamten Skale stimmen. Dies sichert uns eine Tonsammlung mit dem Ergebnis einer perfekten symmetrischen Einheit, frei vom generativen Prozess. Hier nun ein ausgeschriebenes Beispiel, das diese Methode darlegt : C-F#-G-Bb, gefolgt von D-E-A-C. Die gesamte Auswahl ist symmetrisch zum Ton D, obwohl sie nicht von D aus konstruiert wurde. Diese Gruppe ist per Zufall gewählt aus einer symmetrischen Einheit als eine heptatonische Skale : D-E-F#-G-A-Bb-C. Demgemäß können wir asymmetrische Figuren oder Akkorde schaffen mit – anstatt einzelner Töne – der Manifestation symmetrischer Skalen als Quelle.

Eine zufällige Auswahl ist auch möglich mittels Neugruppierung einer zuvor generierten Umkehrung durch Austausch ihrer Mitglieder. Ein Beispiel : D-F-F#-A, gefolgt durch die Generierung D-B-Bb-G. Jetzt können wir die in sich stimmige Generierung frei umarrangieren und zwei zufällige Gruppen konstruieren, die am Ende ebenso eine symmetrische Einheit bilden : B-D-F#-Bb und G-A-D-F.

Im Anschluss liste ich, in römischen Ziffern, alle möglichen Skalen auf, in Umkehrung zum Ausgangston konstruiert.

TRITONISCHE SKALEN
I-bII-VII
I-II-bVII
I-bIII-VI
I-III-bVI
I-IV-V

QUADRATONISCHE SKALEN
I-bII-#IV-VII
I-II-#IV-bVII
I-bIII -#IV-VI
I-III -#IV-bVI
I-IV-#IV-V

PENTATONISCHE SKALEN
I-bII-II-#VI-VII
I-bII-bIII-VI-VII
I-bII-III-bVI-VII
I-bII-IV-V-VII
I-II-bIII-VI-bVII
I-II-III-bVI-bVII
I-II-IV-V-bVII
I-#II-III-#V-VI
I-bIII-IV-V-VI
I-III-IV-V-bVI

HEXATONISCHE SKALEN
I-bII-II-#IV-#VI-VII
I-bII-bIII-#IV-VI-VII
I-bII-III-#IV-bVI-VII
I-bII-IV-#IV-V-VII
I-II-bIII-#IV-VI-bVII
I-II-III-#IV-bVI-bVII
I-II-IV-#IV-V-bVII
I-#II-III-#IV-#V-VI
I-bIII-IV-#IV-V-VI
I-III-IV-#IV-V-bVI

HEPTATONISCHE SKALEN
I-bII-II-bIII-VI-bVII-VII
I-bII-II-III-bVI-bVII-VII
I-bII-II-IV-V-bVII-VII
I-bII-bIII-III-bVI-VI-VII
I-bII-bIII-IV-V-VI-VII
I-bII-III-IV-V-bVI-VII
I-II-bIII-III-bVI-VI-bVII
I-II-bIII-IV-V-VI-bVII
I-II-III-IV-V-bVI-bVII
I-#II-III-IV-V-bVI-VI

OKTATONISCHE SKALEN
I-bII-II-bIII-#IV-VI-bVII-VII
I-bII-II-III-#IV-bVI-bVII-VII
I-bII-II-IV-#IV-V-bVII-VII
I-bII-bIII-III-#IV-bVI-VI-VII
I-bII-bIII-IV-#IV-V-VI-VII
I-bII-III-IV-#IV-V-bVI-VII
I-II-bIII-III-#IV-bVI-VI-bVII
I-II-bIII-IV-#IV-V-VI-bVII
I-II-III-IV-#IV-V-bVI-bVII
I-#II-III-IV-#IV-V-bVI-VI

NONETONISCHE SKALEN
I-bII-II-bIII-III-bVI-VI-bVII-VII
I-bII-II-bIII-IV-V-VI-bVII-VII
I-bII-II-III-IV-V-bVI-bVII-VII
I-bII-bIII-III-IV-V-bVI-VI-VII
I-II-bIII-III-IV-V-bVI-VI-bVII

DEKATONISCHE SKALEN
I-bII-II-bIII-III-#IV-bVI-VI-bVII-VII
I-bII-II-bIII-IV-#IV-V-VI-bVII-VII
I-bII-II-III-IV-#IV-V-bVI-bVII-VII
I-bII-bIII-III-IV-#IV-V-bVI-VI-VII
I-II-bIII-III-IV-#IV-V-bVI-VI-bVII

UNDEKATONISCHE SKALEN
I-bII-II-bIII-III-IV-V-bVI-VI-bVII-VII

EINE ALTERNATIVE METHODE ZUR KONTROLLIERTEN TRANSPONIERUNG DURCH DEN GEBRAUCH GEORDNETER UMKEHRUNG UND SYMMETRISCHER GENERIERUNG

Zuerst die Definition einer symmetrischen Generierung. Dies bezieht darauf zurück , was ich schon früher besprach über Sequenzen, die auf dem Tritonus oder dem übermäßigen Dreiklang aufbauen : Ab – C- Eb- G, gefolgt von C – E- G- B und E – G#- B – D#.

Die vier Töne, die über den übermäßigen Dreiklang geschichtet sind können mit modalen Strukturen erweitert werden, und sie haben wegen der symmetrischen Konstruktion eine innere Logik, die die modale Bewegung verknüpft. Die Modalitäten können frei konstruiert werden, solange die symmetrische Matrix intakt bleibt : Ab-B-C-D-Eb-E-G, gefolgt von Db-E-F-G-A-B-C und schließlich C-D#-E-F#-G-Ab-B. Diesen Vorgang benenne ich „symmetrische Generierung“.

Genau die gleiche Idee kann Verwendung finden in reinen Umkehrungen oder einer Generierung von Umkehrungen, die auch als eine Matrix für modale Bewegung dienen : C-F-G-Bb, dann C-D-G-D, F-Eb-C-Bb, G-E-D-A und zuletzt Bb-Ab-Eb-Db.

In diesem Beispiel wird jeder Ton als der Mittelpunkt für jede Umkehrung behandelt. Wie oben erwähnt, können wir die geordnete Umkehrung als Matrix für kontrollierte Transponierung nutzen. Wir können eine Abfolge von Modalitäten erzeugen : C-Eb-F-F#-G-A-Bb, D-E-F-G#-A-B-C, F-G-Bb-B-C-D-Eb, G-A-Bb-C#-D-E-F und zuletzt Bb-Db-Eb-E-F-G-Ab.

DAS KONTROLLIEREN DER DYNAMIK VON TRANSPONIERUNGEN DURCH DIE NATUR DER OBERTONREIHE

Durch meine Arbeit mit dieser Theorie entdeckte ich ein faszinierendes Phänomen bezüglich der Bewegung verschiedener modaler Transponierungen.

Eine Modalität mit dem Ausgangspunkt C hat elf mögliche Endpunkte. Jede dieser elf Stufen ist in der natürlichen Obertonreihe enthalten. Jede Bewegung hat einen bestimmten dramatischen Effekt, abhängig von dem Weg, den die Bewegung auf der Obertonreihe nach oben ausführt. Eine Bewegung einer Modalität mit dem Ausgangspunkt C wird leicht und locker zu einer Modalität mit dem Ausgangspunkt G fließen. G ist natürlich als die reine Quinte von C der nächste Oberton nach der Oktave und die erste Transponierung in der fortschreitenden Reihe der Obertöne.

Die ganze Reihe, auf der jede chromatische Stufe vorkommt, sieht so aus:

1. Die reine Quinte
2. Die große Terz
3. Die kleine Septime
4. Die große Sekunde
5. Die übermäßige Quarte
6. Die große Sechste
7. Die große Septime
8. Die kleine Sekunde
9. Die kleine Terz
10. Die reine Quarte
11. Die kleine Sechste

So wie die Bewegung vom Ausgangspunkt C zum G sehr leicht klingt, so geschieht das genaue Gegenteil mit einer Bewegung vom Ausgangspunkt C zum Ab. Dies ist eine sehr dramatische Modulation. Wie bereits beschrieben, erhöht sich der dramatische Effekt einer modalen Bewegung, je weiter der Intervallabstand in der Obertonreihe nach oben ist. Ausgeschrieben mit einem C als Ausgangspunkt : C nach G ist eine sanfte Bewegung und mit jeder folgenden legt die Modulation an Intensität zu. Wir könnten dies auch als Farbtöne ausdrücken von gelb bis ultraviolett.

1. C nach G gelb
2. C nach E gelbgrün
3. C nach Bb orange
4. C nach D scharlachrot
5. C nach F# karmesinrot
6. C nach A dunkelrot
7. C nach B rot-lila
8. C nach Db violett
9. C nach Eb blauviolett
10. C nach F purpur
11. C nach Ab ultra-violett

Die Anwendung dieser Technik ist in keiner Weise eine Grundvoraussetzung oder die einzig mögliche Methode für die Kontrolle der Dramatik in der Musik. Sie ist jedoch ein sehr nützliches Werkzeug, wenn sie bewusst eingesetzt wird.

POLYMODALITÄT UND DIE GEORDNETE UMKEHRUNGSUMGEBUNG – EINE HARMONISCHE VERBINDUNG

Die Technik der musikalischen Gestaltschöpfung durch Umkehrung auf jedem Teilton eines Akkordes kann natürlich auch auf eine frei wählbare Modalität angewendet werden. Wir könnten als Beispiel jede beliebige Modalität aus der von mir präsentierten Sammlung auswählen und mit der Erzeugung geordneter Umkehrungen beginnen.

So steht am Anfang exemplarisch eine heptatonische Modalität : C-Db-E-F#-G-Ab-Bb. Dann erzeugt man Umkehrungen in Bezug zu jedem einzelnen Ton der gewählten Modalität (entsprechend der Technik geordneter Umkehrungen).

Auf diese Weise erhält man sieben Modalitäten, die mit der Ursprünglichen verwandt sind. Diese Art Generierung kann eine Kette verwandter Melodiemuster hervorbringen, die, in einem separaten Verzeichnis, in polymodaler Weise auf exakt die gleichen vorher erzeugten Modalitäten überlagert werden können. Solange die beiden modalen Umgebungen ihre Identität bewahren, werden sie als ein Transponierungsschema oder als Überlagerung funktionieren. Die Überlagerung ist frei transponierbar und kann einen beliebigen Ausgangston besitzen, doch die modale Intervallbeziehungen bleiben bestehen.

Ich persönlich nutze eine Matrix für meine Transponierschemata. Diese Matrix ist in sich selbst symmetrisch : C-D-Eb-E-F#-Ab-A-Bb. Dies ist nicht die einzige Möglichkeit für logische Transponierung. Man kann genauso Umkehrungsformen entwickeln oder anderweitig verwandte Ideen. Ein Beispiel hierfür : C-Db-E-Eb-Ab-G.

So könnte man das originale Umkehrungsschema entwickeln und gleichzeitig die Gruppe der sieben erzeugten Modalitäten im Umkehrschluss überlagern. Als Ausgangston eignet sich zum Beispiel „Ab“, wenn die Ursprungsmodalität mit „C“ begann.
Ausgehend von der o.g. originalen Modalität C-Db-E-F#-G-Ab-Bb demonstriere ich nun die sieben Umkehrungen :

1. von C => C-B-Ab-F#-F-E-D
2. von Db => Db-Bb-Ab-G-F#-E-D
3. von E => E-D-C#-B-Bb-Ab-G
4. von F# => F#-F-E-D-C-B-G#
5. von G => G-F#-E-D-C#- Bb-Ab
6. von Ab => Ab-Gb-E-Eb-C-Bb-A
7. von Bb => Bb-Ab-G-E-D-C#-C

Wenn man die Töne umarrangiert wird man erkennen, dass hierdurch die gleiche Modalität in unterschiedlichen Transponierungen erzeugt wurde. Dabei stimmen sie alle mit der Matrix der Ganztonleiter überein. Dies kann auf hervorragende Weise als Transponierschema dienen.

Das ist der Weg, wie man transponierte Modalitäten zusammen mit möglichen Überlagerungen in ein und demselben Prozess entwickelt. Die musikalische Umgebung, die durch diesen Vorgang geschaffen wird, ist polymodal, jedoch vollkommen homogen.

DIE ANWENDUNG DER AMROD ´SCHEN MUSIKTHEORIE IN DER WELT DER MIKROTONIE

Wir haben erkannt, dass man Töne um eine gegebene Symmetrie herum frei anordnen , und so Modalitäten konstruieren kann mit der Möglichkeit, sie in Transponierschemata weiter zu verwenden. Dieses Grundprinzip geht natürlich über die übliche zwölftönige Teilung der Oktave hinaus. Wir können uns davon befreien und die Theorie bei voller Wirksamkeit in anderen in sich stimmigen Teilungen einer Oktave zur Anwendung bringen, wodurch wir eine Vielzahl weiterer Symmetrien erhalten. Die Summe der einzelnen Mitglieder dieser Symmetrien müssen addiert eine Primzahl ergeben.

Ein Beispiel hierfür ist der Tritonus mit seinen zwei Mitgliedern, der die Oktave symmetrisch halbiert. Oder der übermäßige Dreiklang, der aus drei Teilen besteht. Ein möglicher mikrotonischer Teiler der Oktave, mit dem Ziel primnumerische symmetrische Konstrukte zu schaffen, wäre die Zahl 15. Durch 15 die Oktave gleichmäßig teilende Töne erhält man den übermäßigen Dreiklang, genauso wie die symmetrische Teilung der Zahl 5.

Diese Symmetrie kann wie gehabt auch als Kern dienen, um den sich Muster scharen, woraus sich mit Hilfe der 10 verbleibenden Töne Modalitäten entwickeln lassen. Dann kann man die 15 Stufen dieser mikrotonischen chromatischen Skale in einem Transponierschema eigener Wahl nutzen. Man kann auch auf gröbere Teilungen einer Oktave zurückgreifen, wo sich vielleicht primnumerische Symmetrien ergeben. 8, 9 oder 10 perfekte Teilungen der Oktave bieten sich dafür an.

An diesem Punkt bietet sich die Möglichkeit, eine freie Auswahl von Tönen zu treffen, praktischerweise innerhalb des vom Menschen hörbaren Spektrums, die nicht notwendigerweise Teil einer symmetrischen 15- oder 10-tönigen Aufteilung der Oktave sein müssen. Ein wohltemperierter Tritonus, ein übermäßiger Dreiklang, vielleicht eine geometrisch exakte, primnumerische Aufteilung der Oktave in 5, 7, 9, 11, 13… Töne, ganz nach freier Entscheidung. Dann wählt man Töne nach eigenem Belieben und baut die Transponierungen auf eben dieselben unsymmetrischen Töne und die zu Beginn ausgewählte primnumerische Symmetrie.

–> zum ersten Teil
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